Рассказ о мнимых числах нужно начинать со слов «жили-были», как сказку. Эйлер описывал мнимые числа так: «...ни ничто, ни больше, чем ничто, ни меньше, чем ничто...». Этот знаменитый математик считал, что эти числа противоречат природе, но поскольку они существуют в нашем разуме, ничто не мешает использовать их в вычислениях. Лейбниц, столкнувшись с этими числами, с удивлением определил их как «амфибию бытия с небытием». Как видите, эти «мимолетные» и «призрачные» числа не слишком нравились математикам.

Квадратный корень из –1 впервые обозначил буквой i Леонард Эйлер в 1777 году, дав ему при этом приведенную выше характеристику. Любое мнимое число можно записать в виде ib, где b – вещественное число, i – мнимая единица, обладающая следующим свойством:

i² = –1.

Числа вида

a =ai

называются чисто мнимыми, числа вида

(а + Ь ) = а + bi

– комплексными.

Эйлер использовал

в бесконечных рядах и с помощью этого числа открыл свою удивительную формулу

 .

Позже математики увидели: мнимые числа можно применить в расчетах переменных токов. С их помощью сегодня рассчитываются, калибруются и контролируются такие детали, как статоры в электрических трансформаторах.