БЕСКОНЕЧНЫЙ ОТЕЛЬ ГИЛЬБЕРТА

Представьте себе отель с конечным числом номеров, и все они заняты. Если приезжает новый посетитель, то владельцу придется сказать, что свободных мест в отеле нет. Теперь предположим, что в отеле имеется бесконечное количество комнат, пронумерованных натуральными числами 1,2,3,4 и все комнаты, как и в предыдущем примере, заняты. Однако если приедет новый гость и попросит номер, то владелец отеля ответит: «Конечно. Нам только придется переселить гостя из первого номера во второй, из второго в третий и так далее до бесконечности». Тогда первый номер освободится, и новый гость может в нем поселиться.

Но что произойдет, если приедет бесконечное количество новых гостей? И в этом случае есть решение. Гостя из первого номера поселят в номер 2, гостя из номера 2 - в номер 4, гостя из номера 3 - в номер 6 и так далее, то есть каждый гость переселится в комнату, номер которой в два раза больше номера предыдущей комнаты. Таким образом, комнаты с нечетными номерами освободятся, и новые гости смогут поселиться в них.

Концепция бесконечности противоречит некоторым привычным для нас «истинам», которые справедливы лишь для конечных множеств. Например, утверждение, что «целое больше, чем части». Это не работает для бесконечных множеств. Как видно из примера с бесконечным отелем, множество четных чисел имеет столько же элементов, что и множество натуральных чисел.