Чтобы разобраться с парадоксом Расселла, нужно только понимать выражение х является элементом М», где М – множество. Оно всего-навсего означает, что х принадлежит множеству М. Так, например, «14 является элементом множества четных чисе» и «11 является элементом мно­жества нечетных чисел» – истинные утверждения, а «3/14 является элементом множества целых чисел» – нет.

Рассел рассмотрел множество тех множеств, которые не являются элементами себя. Оказывается, этот объ­ект, обозначим его Â, обладает некоторыми странными свойствами. Например, можно задать наивный вопрос: является Â элементом Â? Есть два варианта ответа.

Ответ «да» означал бы, что множество Â обладает свойством, характеризующим элементы Â: оно не является элементом себя, и поэтому из «да» следует «нет».

Попробуем теперь ответить «нет». Это означает, что множество Â не обладает свойством, характеризующим элементы Â (а именно, быть элементом себя). Но если Â не является элементом себя, оно должно входить в Â. Так что ответ должен быть «да».

Такая замысловатая форма рассуждения превосходит возможности логики в царстве теории множеств. Словно в ходе расследования преступления, когда известно, что преступник — один из двух персонажей А и В, Шерлок Холмс пришел к следующим выводам. Если предположить, что преступником является А, то в преступлении следует обвинить В; а если принять гипотезу о виновности В, то преступником оказывается А. Но ведь так не бывает!

Парадокс Рассела оказался большим потрясением для математического сообщества. Сегодня, спустя более ста лет, таких противоречий обычно избегают, запрещая саморферентные определения. Такие определения ссылаются на определяемый объект, словно он уже известен.