Не так много немецких математиков известны за пределами своей науки. Но Георг Кантор, основатель теории множеств, несомненно, один из них. Почему теория множеств важна? Почему ее называют «математическим раем» и почему математика без нее невозможна? Причина в том, что эта наука позволила поставить математику на строгое дедуктивное основание.

На поверхностный взгляд, теория множеств совершенно безобидна. Собирают вместе некоторые представляющие интерес объекты и получают новый объект под названием множество. Построение множеств происходит и в повсе­дневной жизни. Понятно, например, что некоторые страны образовали множество «Европейский союз», а некоторые департаменты – множество «федеральное правительство». Однако если допустить образование новых объектов без вся­ких критериев проверки, могут возникнуть неприятности. Результат окажется бессмысленным, как было показано сто лет тому назад британским математиком и филосо­фом Бертраном Расселом. Его рассуждения основаны на логическом парадоксе, известном с древних времен: когда разрешается, чтобы утверждения относились сами к себе, возникновение логических противоречий неизбежно.

Георг Кантор                Бертран Рассел

В хорошо известном варианте этого парадокса речь идет о деревенском цирюльнике, который бреет только тех, кто не бреет себя сам. А как же насчет самого цирюльника? Бреется ли он самостоятельно? Этого не может быть, ведь он бреет только тех, кто не может побриться сам. А если нет? Тогда его следует отнести к числу тех клиентов, которые не бреются самостоятельно. Вы можете вертеть это высказывание так и сяк; этот вопрос исключает логический ответ.

Запретив ссылающиеся на себя множества, теория множеств немного оправилась после шока, произведенного парадоксом Рассела, и сегодня она считается бесспорным фундаментом математики.