Формула   для корней квадратного уравнения x² + px + q = 0 – одна из самых известных в математике. Она простая и удобная, часто применяется, и всех заставляют ее выучить.

Хорошо известно, что существует явная формула и для решения кубических уравнений, но обычно школьники ее не учат. Как правило, это объясняют тем, что она длинная, сложная и неудобная. Но эти предупреждения не смущают пытливых, и они ищут формулу в справочниках и учебниках. Вот что они находят.

Рассмотрим уравнение х³ + рх + q = 0.

Общее уравнение х³ + ах² + bх + с = 0 можно свести к такому виду подстановкой

:

а это равно х³ + рх + q, где , .

Сама формула корней выглядит так:

   (*)

Видно, что формула не такая уж длинная и не такая уж сложная. Два кубических корня схожи: запомните один, и вы запомните другой. В знаменателях стоят числа 2, 4 и 27, а их легко запоминать. Более того, без них можно обойтись, если исходное уравнение записать в виде

х³ + Зrх + 2s = 0;

и тогда формула корней примет вид

.

Доказательство формулы (*)

Пусть

Обозначим

,     .

Тогда

A³ + B³ = –q,

и

x³ = (A + B)³ = A³ + 3AB(A + B) + B³ = – px – q, х³ + рх + q = 0.

что и требовалось доказать.